गैस की कुल स्थानांतरित गतिज ऊर्जा

$=\frac{1}{2} M\left\langle v^{2}\right\rangle=\frac{3}{2} P V=\frac{3}{2} n R T$

$<v^{2}>=\frac{3 P}{\rho} \quad v_{rms}=\sqrt{\frac{3 P}{\rho}}=\sqrt{\frac{3 RT}{M_{mol}}}=\sqrt{\frac{3 KT}{m}}$

महत्वपूर्ण बिंदु :

$-\mathrm{v}_{\mathrm{rms}} \propto \sqrt{\mathrm{T}}$

$\bar{v}=\sqrt{\frac{8 K T}{\pi m}}=1.59 \sqrt{\frac{K T}{m}}$

$\mathrm{v}_{\mathrm{rms}}=1.73 \sqrt{\frac{\mathrm{KT}}{\mathrm{m}}}$

सबसे प्रायिक चाल:

$V_{p}=\sqrt{\frac{2 KT}{m}}=1.41 \sqrt{\frac{KT}{m}} \therefore V_{rms}>\overline{V}>V_{mp}$

स्वतंत्रता की डिग्री :

• एकल-परमाण्विक $f=3$

• द्वि-परमाण्विक $f=5$

• बहु-परमाण्विक $f=6$

ऊर्जा के समान वितरण का मैक्सवेल का नियम :

• अणु की कुल गतिज ऊर्जा $=\frac{1}{2} \mathrm{fKT}$

• आदर्श गैस के लिए : आंतरिक ऊर्जा $U=\frac{f}{2} n R T$

आदर्श गैस नियम:

$PV = nRT$

ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम:

$\Delta U = Q - W$

समतापीय प्रक्रिया:

• समतापीय प्रक्रिया में किया गया कार्य : $W=\left[2.303 nRT \log _{10} \frac{V_f}{V_i}\right]$

• समतापीय प्रक्रिया में आंतरिक ऊर्जा : $ \Delta \mathrm{U}=0$

समआयतन प्रक्रिया

• समआयतन प्रक्रिया में किया गया कार्य : $ d W=0$

• समआयतन प्रक्रिया के दौरान आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta U = nC_v\Delta T$

समदाब प्रक्रिया :

• किया गया कार्य: $\Delta \mathrm{W}=n R\left(T_{\mathrm{f}}-\mathrm{T}_{\mathrm{i}}\right)$

• समदाब प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta U = n C_p \Delta T$

आदिबाटिक प्रक्रिया :

• किया गया कार्य: $\Delta W=\frac{nR\left(T_{i}-T_{f}\right)}{\gamma-1}$

विशिष्ट ऊष्मा :

$ C_{V}=\frac{f}{2} R \quad C p=\left(\frac{f}{2}+1\right) R $

आदर्श गैस की मोलर ऊष्मा धारिता $\mathbf{R}$ के पदों में :

(i) एकल-परमाणुक गैस के लिए : $\frac{C_{p}}{C_{v}}=1.67$

(ii) द्वि-परमाणुक गैस के लिए : $\frac{C_{p}}{C_{v}}=1.4$

(iii) त्रि-परमाणुक गैस के लिए : $\frac{C_{p}}{C_{v}}=1.33$

ऊष्मा धारिता अनुपात :

$\gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}=\left[1+\frac{2}{f}\right]$

मेयर का समीकरण:

आदर्श गैस के लिए: $C_{p}-C_{v}=R $

चक्रीय प्रक्रिया में :

$\Delta Q=\Delta W$

अ-अभिक्रियाशील गैसों के मिश्रण में :

$\text{मोलर भार}=\frac{n_{1} M_{1}+n_{2} M_{2}}{n_{1}+n_{2}}$

$C_{v}=\frac{n_{1} C_{v_{1}}+n_{2} C_{v_{2}}}{n_{1}+n_{2}}$

$\gamma=\frac{C_{p(\text { मिश्रण })}}{C_{v(\text { मिश्रण })}}=\frac{n_{1} C_{p_{1}}+n_{2} C_{p_{2}}+\ldots}{n_{1} C_{v_{1}}+n_{2} C_{v_{2}}+\ldots}$

ऊष्मा इंजन

$\text{दक्षता,} \eta=\frac{\text { इंजन द्वारा किया गया कार्य }}{\text { इसे दी गई ऊष्मा }}$

$\eta=\frac{W}{Q_{H}}=\frac{Q_{H}-Q_{L}}{Q_{H}}=1-\frac{Q_{L}}{Q_{H}}$

ऊष्मागतिकी का द्वितीय नियम

• केल्विन-प्लैंक कथन

यह असंभव है कि एक ऐसा इंजन बनाया जाए जो चक्र में संचालित हो, और किसी अन्य प्रभाव के बिना किसी स्रोत से ऊष्मा निकालकर उसके बराबर कार्य करे।

• क्लॉजियस कथन

यह असंभव है कि किसी निम्न ताप वाले पिण्ड से उच्च ताप वाले पिण्ड में ऊष्मा प्रवाहित कराया जाए बिना कार्य करने वाले पदार्थ पर बाह्य कार्य किए।

एन्ट्रॉपी:

• तंत्र में एन्ट्रॉपी का परिवर्तन $\Delta S=\frac{\Delta Q}{T} \Rightarrow S_{f}-S_{i}=\int_{i}^{f} \frac{\Delta Q}{T}$ है
• एक रुद्धोष्म उत्क्रमणीय प्रक्रिया में, तंत्र की एन्ट्रॉपी अपरिवर्तित रहती है।

कार्नो इंजन की दक्षता:

(1) संक्रिया I (समतापी प्रसार)

(2) संक्रिया II (रुद्धोष्म प्रसार)

(3) संक्रिया III (समतापी संपीडन)

(4) संक्रिया IV (रुद्धोष्म संपीडन)

कार्नो इंजन की ऊष्मीय दक्षता:

$\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{V_{3}}{V_{4}} \Rightarrow \frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\frac{T_{2}}{T_{1}} \Rightarrow \eta=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}$

रेफ्रिजरेटर (ऊष्मा पंप)

• प्रदर्शन गुणांक, $\beta=\frac{Q_{2}}{W}=\frac{1}{\frac{T_{1}}{T_{2}}-1}==\frac{1}{\frac{T_{1}}{T_{2}}-1}$

कैलोरीमिति और ऊष्मीय प्रसार तापमापियों के प्रकार:

(a) द्रव तापमापी : $ T=\left[\frac{\ell-\ell_{0}}{\ell_{100}-\ell_{0}}\right] \times 100$

(b) गैस तापमापी :

• नियत आयतन : $T=\left[\frac{P-P_{0}}{P_{100}-P_{0}}\right] \times 100 ; P=P_{0}+\rho g h$

• स्थिर दबाव : $T=\left[\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{V}-\mathrm{V}^{\prime}}\right] \mathrm{T}_{0}$

(c) विद्युत प्रतिरोध थर्मामीटर :

$ T=\left[\frac{R_{t}-R_{0}}{R_{100}-R_{0}}\right] \times 100 $

ऊष्मीय प्रसार :

(a) रेखीय :

$ \alpha=\frac{\Delta L}{L_{0} \Delta T} \quad \text { या } \quad L=L_{0}(1+\alpha \Delta T) $

(b) क्षेत्रफल/सतही :

$ \beta=\frac{\Delta A}{A_{0} \Delta T} \quad \text { या } \quad A=A_{0}(1+\beta \Delta T) $

(c) आयतन/घनात्मक :

$ r=\frac{\Delta V}{V_{0} \Delta T} \quad \text { या } \quad V=V_{0}(1+\gamma \Delta T) $

$ \alpha=\frac{\beta}{2}=\frac{\gamma}{3} $

किसी पदार्थ का ऊष्मीय तनाव :

$ \frac{F}{A}=Y \frac{\Delta\ell}{\ell} $

प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा :

$ E=\frac{1}{2} K(\Delta L)^{2} \quad \text { या } \quad E=\frac{1}{2} \frac{A Y}{L}(\Delta L)^{2} $

पेंडुलम घड़ियों के आवर्तकाल में परिवर्तन :

$ \Delta \mathrm{T}=\frac{1}{2} \alpha \Delta \theta \mathrm{T} $

$ \mathrm{T}^{\prime}<\mathrm{T} \quad \text { - घड़ी तेज़ : समय-लाभ } $

$ \mathrm{T}^{\prime}>\mathrm{T} \quad \text { - घड़ी धीमी : समय-हानि } $

कैलोरिमेट्री :

• विशिष्ट ऊष्मा: $S=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{m} \cdot \Delta \mathrm{T}}$

• मोलर विशिष्ट ऊष्मा: $\mathrm{C}=\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\mathrm{n} \cdot \Delta \mathrm{T}}$

• जल तुल्यांक: $m_{m} S_{m}=m_{w} S_{w}$

ऊष्मा स्थानांतरण

• ऊष्मीय चालन : $ \frac{d Q}{d t}=-K A \frac{d T}{d x}$

• ऊष्मीय प्रतिरोध : $\mathrm{R}=\frac{\ell}{\mathrm{KA}}$

रॉड का श्रेणी और समानांतर संयोजन :

(i) श्रेणी : $\frac{\ell_{\text {eq }}}{K_{\text {eq }}}=\frac{\ell_{1}}{K_{1}}+\frac{\ell_{2}}{K_{2}}+\ldots$ जब $\left(A_{1}=A_{2}=A_{3}=\ldots\right)$

(ii) समानांतर : $K_{\text {eq }} A_{e q}=K_{1} A_{1}+K_{2} A_{2}+\ldots$ जब $\left(\ell_{1}=\ell_{2}=\ell_{3}=\ldots\right)$

अवशोषण, परावर्तन और पारगमन के लिए: $ r+t+a=1 $

• उत्सर्जन शक्ति : $ \mathrm{E}=\frac{\Delta \mathrm{U}}{\Delta \mathrm{A} \Delta \mathrm{t}}$

• वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति : $ E_{\lambda}=\frac{d E}{d \lambda}$

उत्सर्जन क्षमता : $ e=\frac{E \text{ का एक पिंड पर } \mathrm{T} \text{ तापमान पर }}{\mathrm{E} \text{ का एक काले पिंड पर } \mathrm{T} \text{ तापमान पर}}$

• किरचॉफ का नियम : $4\frac{E \text{ (पिंड) }}{a \text{ (पिंड) }}=E \text{(काला पिंड)}$

वीन का विस्थापन नियम :

$\lambda_{\mathrm{m}} \cdot \mathrm{T}=\mathrm{b}$

$b=0.282 \mathrm{~cm}-\mathrm{k}$

स्टीफन बोल्ट्ज़मान नियम :

$ \mathrm{u}=\sigma \mathrm{T}^{4} \quad \quad \mathrm{~s}=5.67 \times 10^{-8} \mathrm{W} \mathrm{m}^{2} \mathrm{k}^{4} $

$ \Delta u=u-u_{0}=e \sigma A \left(T^{4}-T_{0}^{4}\right) $

न्यूटन का शीतलन नियम :

$\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}=\mathrm{k}\left(\theta-\theta_{0}\right) ; \quad \theta=\theta_{0}+\left(\theta_{\mathrm{i}}-\theta_{0}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{kt}}$